四元數的四個數字分別代表什麼？

單位四元數 q = (w, x, y, z) 中，w = cos(θ/2)，(x, y, z) = sin(θ/2)·u，其中 u 是旋轉軸的單位向量、θ 是繞該軸旋轉的角度。

為什麼 q 和 -q 代表同一個旋轉？

把 θ 換成 θ+360° 會讓四個分量全部變號，但物理上是同一個姿態。這叫「雙重覆蓋」，實作插值時要先檢查內積符號，避免繞遠路。

四元數（Quaternion）是由一個實部與三個虛部組成的數 $q = w + xi + yj + zk$ 。長度為 1 的單位四元數可以表示任意三維旋轉，是 ROS 2（geometry_msgs/Quaternion）、無人機飛控與遊戲引擎內部最常用的姿態表示法。

任何三維旋轉都可以看成「繞某一根軸轉某個角度」（軸角表示）。四元數就是把「軸」和「角度」巧妙地打包成四個數，使旋轉的合成變成簡單的乘法。

繞單位軸 $\mathbf{u}$ 旋轉角度 $\theta$ ：

q = \left(\cos\tfrac{\theta}{2},\; \mathbf{u}\sin\tfrac{\theta}{2}\right)

旋轉向量 $\mathbf{v}$ ： $\mathbf{v}' = q\,\mathbf{v}\,q^{*}$ ；兩個旋轉的合成： $q_{total} = q_2\,q_1$ （先 $q_1$ 再 $q_2$ ）。