MPC 跟 PID 最本質的差異是什麼？不只是「比較複雜」而已嗎？

本質差異在於 PID 是純粹的反饋控制器——它只看「現在」的誤差（以及誤差的歷史累積與變化率），完全不知道系統未來會怎麼演變，也不知道致動器有沒有極限；MPC 則是在每一步都用系統模型「預測」未來一段時間（時域）的行為，然後解一個最佳化問題找出讓未來這段時間內成本最小的控制序列，只執行第一步就重新預測。這個差異帶來兩個 PID 結構上做不到的能力：一是原生處理多輸入多輸出之間的耦合（例如四軸飛行器四個馬達轉速互相耦合影響姿態與高度，PID 通常要拆成多個獨立迴圈硬湊，MPC 可以在同一個最佳化問題裡處理耦合關係），二是原生把致動器極限與狀態限制寫進最佳化問題的約束條件，而不是像 PID 那樣要另外加飽和限幅這種事後補救機制。

時域（horizon）越長，控制效果一定越好嗎？

不一定，而且有明顯的 trade-off。時域越長，控制器能「看得越遠」，理論上越接近全時域最佳解，穩定性保證通常也更好；但代價是每一步都要解一個規模隨時域長度增大的二次規劃問題，計算成本隨時域長度大致呈平方到立方成長（取決於是否用凝聚形式），在需要毫秒等級即時反應的控制迴路裡，時域拉太長可能導致單步求解時間超過控制週期，直接讓即時性破功。實務上時域長度是一個需要跟控制頻率一起權衡的超參數，太短會讓控制器變得短視（跟只看一步的貪婪法差異不大，可能在需要提前煞車的情境下反應不及），太長則犧牲即時性，通常會先抓一個大約覆蓋系統主要動態時間常數的時域長度，再依實際運算預算調整。

非線性 MPC（NMPC）什麼時候才是必要的，用線性 MPC 硬做行不行？

如果系統動態在你關心的工作範圍內非線性程度不高，或者可以在每個控制週期附近做線性化近似（例如足式機器人在小幅擾動附近的姿態控制），線性 MPC 配合適當頻率的重新線性化通常已經夠用，計算成本也遠低於真正的非線性 MPC。但像四足或雙足機器人的動態步態規劃、需要大幅度姿態變化的機動動作，系統動態（尤其是接觸力學與轉動慣性耦合）的非線性程度高到線性近似會產生顯著誤差，這種情況才真正需要非線性 MPC（通常用序列凸規劃 SCP、iLQR 或 DDP 這類方法求解），代價是計算成本高出一個數量級以上，這也是為什麼直到近幾年 GPU/嵌入式運算能力提升，NMPC 才逐漸在腿式機器人的即時控制迴路裡變得可行。

模型預測控制入門：從有限時域最佳化到即時求解

問題定義

PID 控制器（見PID 控制器完整拆解）只根據「現在」的誤差反應，不知道系統未來會怎麼演變，也沒有機制原生處理致動器極限或狀態限制。模型預測控制（Model Predictive Control, MPC）從根本上換了一個思路：在每個控制週期，用一個系統動態模型，預測接下來一段有限時域內、在不同控制輸入序列下系統會怎麼演變，然後解一個最佳化問題，找出讓這段時域內某個成本函數（通常同時衡量「跟目標的偏差」與「控制輸出的大小」）最小的控制序列——但只執行這個序列的第一步，下一個控制週期用新的量測值重新預測、重新求解。這個「只執行第一步、每步都重新求解」的策略稱為遞推時域（Receding Horizon），是 MPC 名字裡「Predictive」真正的實作方式，也是它跟開迴路軌跡最佳化最關鍵的差異——每一步都用最新的量測值修正模型誤差與外部擾動，本質上仍然是一種反饋控制。

狀態空間模型

線性 MPC 建立在離散時間線性狀態空間模型上：

x_{k+1} = A x_k + B u_k

$x_k \in \mathbb{R}^n$ 是系統狀態（例如移動機器人的位置、速度；機械手臂的關節角度、角速度）， $u_k \in \mathbb{R}^m$ 是控制輸入， $A$ 、 $B$ 是描述系統動態的矩陣。這個模型可能是系統真實動態的線性近似（例如在某個工作點附近對非線性動態做泰勒展開取一階項），也可能是本身就接近線性的系統（例如倒單擺在接近直立點附近的動態）。

有限時域最佳化問題

在第 $k$ 步，MPC 要解的問題是：給定目前狀態 $x_k$ ，找出未來 $N$ 步的控制序列 $u_k, u_{k+1}, \dots, u_{k+N-1}$ ，使得以下二次型成本函數最小：

\min_{u_k, \dots, u_{k+N-1}} \ \sum_{i=0}^{N-1} \left( \|x_{k+i} - x_{\text{ref}}\|_Q^2 + \|u_{k+i}\|_R^2 \right) + \|x_{k+N} - x_{\text{ref}}\|_{Q_f}^2

\text{s.t.} \quad x_{k+i+1} = A x_{k+i} + B u_{k+i}, \qquad u_{\min} \le u_{k+i} \le u_{\max}, \qquad x_{\min} \le x_{k+i} \le x_{\max}

其中 $\|v\|_Q^2 = v^T Q v$ 。 $Q$ 是狀態誤差權重矩陣， $R$ 是控制輸出權重矩陣， $Q_f$ 是時域終點的終端成本權重（通常設得比 $Q$ 大，鼓勵系統在時域結束時已經接近目標，這對確保遞推時域策略的穩定性有實質幫助）。

這個成本函數的設計直接體現了控制問題裡最基本的 trade-off： $Q$ 相對 $R$ 越大，控制器越積極地消除狀態誤差、但也會用更大的控制輸出（可能更耗能、動作更劇烈）； $R$ 相對 $Q$ 越大，控制輸出越平滑保守、但跟蹤目標的速度變慢。這組權重的選擇是 MPC 實務調參的核心工作，概念上跟 PID 調整 $K_p$ 、 $K_i$ 、 $K_d$ 三個增益的角色類似，但因為是矩陣形式，還能對狀態向量裡不同分量（例如「位置誤差」跟「速度誤差」）給予不同的重視程度。

約束條件是 MPC 相對 PID 最核心的結構性優勢：致動器極限 $u_{\min} \le u \le u_{\max}$ 、狀態限制 $x_{\min} \le x \le x_{\max}$ （例如關節角度不能超過機構極限、移動平台速度不能超過安全上限）直接寫進最佳化問題的約束條件，求解器保證輸出的控制序列滿足這些限制；PID 沒有這種機制，只能在輸出端事後做飽和限幅（見 PID 控制器完整拆解中的抗飽和一節），這是被動補救，不是主動規劃。

凝聚形式與二次規劃求解

上述問題可以透過把未來狀態 $x_{k+1}, \dots, x_{k+N}$ 全部用初始狀態 $x_k$ 與控制序列表示（反覆代入狀態方程式），消去狀態變數，只留下控制序列 $\mathbf{u} = [u_k^T, \dots, u_{k+N-1}^T]^T$ 作為決策變數，這個過程稱為凝聚（condensing）。凝聚後，原本的問題化簡成標準二次規劃（Quadratic Programming, QP）形式：

\min_{\mathbf{u}} \ \frac{1}{2} \mathbf{u}^T H \mathbf{u} + f^T \mathbf{u} \qquad \text{s.t.} \quad G \mathbf{u} \le h

$H$ 、 $f$ 、 $G$ 、 $h$ 都可以從 $A$ 、 $B$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $x_k$ 與約束邊界事先推導出解析公式（矩陣運算，不含未知數的迭代求解），每個控制週期只需要代入最新的 $x_k$ 重新算出 $f$ （ $H$ 、 $G$ 、 $h$ 在線性時不變系統下通常整個控制過程都不變，可以離線算好），再呼叫標準 QP 求解器求解——這也是為什麼線性 MPC 即使要在每個控制週期重新求解一個最佳化問題，仍然能做到相對高頻率（幾十到幾百 Hz）的即時控制：QP 求解器對凝聚後的中等規模問題，求解時間通常在毫秒等級。

線性 MPC vs 非線性 MPC

線性 MPC（Linear MPC, LMPC） 假設系統動態可以用線性模型（或分段線性近似）描述，優點是能化簡成上述標準 QP 問題，QP 是凸最佳化問題，有成熟且高效的求解器（可以保證找到全域最佳解，求解時間也相對可預測），這是線性 MPC 能在中高頻率控制迴路裡即時運行的關鍵原因。缺點是對高度非線性的系統（大幅度姿態變化、接觸力學）誤差會顯著累積。

非線性 MPC（Nonlinear MPC, NMPC） 直接對非線性動態模型 $x_{k+1} = f(x_k, u_k)$ 求解，成本函數與約束也可能是非線性的，問題不再是凸的，沒有保證能找到全域最佳解，常見求解方法是序列凸規劃（Sequential Convex Programming, SCP，每一步在目前解附近線性化再解一個 QP，反覆迭代逼近非線性問題的解）、iLQR（iterative Linear Quadratic Regulator）或 DDP（Differential Dynamic Programming）。四足與雙足機器人的動態步態規劃是 NMPC 近幾年最活躍的應用場景之一——足式機器人的接觸力學（腳何時觸地、摩擦力錐約束）本質上是高度非線性甚至非光滑的，線性近似會產生顯著誤差，直到近幾年隨著嵌入式運算能力提升與更高效的 NMPC 求解器（例如 MIT Cheetah 系列與其後續工作採用的凸 MPC 簡化版本）出現，NMPC／簡化非線性 MPC 才逐漸能在四足機器人上做到全身即時控制。

程式碼範例

以下用一個離散雙積分器系統（狀態是位置與速度，控制輸入是加速度，是移動平台速度控制、或關節角速度控制的簡化模型）示範線性 MPC 的凝聚形式與遞推時域迴圈：

python

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize


def build_prediction_matrices(A, B, N):
    """建立凝聚形式：x_traj = Sx @ x0 + Su @ u_seq"""
    n, m = A.shape[0], B.shape[1]
    Sx = np.zeros((n * N, n))
    Su = np.zeros((n * N, m * N))

    A_power = np.eye(n)
    for i in range(N):
        A_power = A_power @ A
        Sx[i * n:(i + 1) * n, :] = A_power

    for i in range(N):
        for j in range(i + 1):
            A_power_ij = np.linalg.matrix_power(A, i - j)
            Su[i * n:(i + 1) * n, j * m:(j + 1) * m] = A_power_ij @ B

    return Sx, Su


def mpc_step(x0, x_ref, A, B, Q, R, N, u_min, u_max):
    """解一步 MPC：回傳這一步該執行的控制輸入（時域內第一步）"""
    n, m = A.shape[0], B.shape[1]
    Sx, Su = build_prediction_matrices(A, B, N)

    Q_bar = np.kron(np.eye(N), Q)
    R_bar = np.kron(np.eye(N), R)
    x_ref_bar = np.tile(x_ref, N)

    def cost(u_flat):
        x_traj = Sx @ x0 + Su @ u_flat
        state_error = x_traj - x_ref_bar
        return state_error @ Q_bar @ state_error + u_flat @ R_bar @ u_flat

    bounds = [(u_min, u_max)] * (m * N)
    u0_guess = np.zeros(m * N)
    result = minimize(cost, u0_guess, bounds=bounds, method="SLSQP")

    u_seq = result.x.reshape(N, m)
    return u_seq[0]  # 遞推時域：只執行第一步


def simulate_receding_horizon(A, B, Q, R, N, x0, x_ref, u_min, u_max, steps):
    """完整遞推時域模擬迴圈"""
    x = x0.copy()
    trajectory = [x.copy()]
    for _ in range(steps):
        u = mpc_step(x, x_ref, A, B, Q, R, N, u_min, u_max)
        x = A @ x + B @ u
        trajectory.append(x.copy())
    return np.array(trajectory)


# 雙積分器範例：狀態 [位置, 速度]，控制輸入 [加速度]
dt = 0.1
A = np.array([[1, dt], [0, 1]])
B = np.array([[0.5 * dt ** 2], [dt]])
Q = np.diag([10.0, 1.0])
R = np.array([[0.1]])

traj = simulate_receding_horizon(
    A, B, Q, R, N=10,
    x0=np.array([0.0, 0.0]),
    x_ref=np.array([5.0, 0.0]),
    u_min=-2.0, u_max=2.0,
    steps=50,
)

這裡刻意用 scipy.optimize.minimize 而不是專門的 QP 求解器，是為了讓程式碼保持在標準函式庫範圍內、方便直接執行理解流程；正式的即時控制系統會改用專門的 QP 求解器（例如 OSQP、qpOASES），對凝聚後的標準 QP 形式，這些求解器的求解速度比通用非線性最佳化器快上一到兩個數量級，這個差異在需要達到百 Hz 等級控制頻率的應用裡是決定性的。

常見錯誤

時域長度沒有跟控制頻率一起考慮：時域拉長能提升前瞻性，但求解時間也隨之增加，在即時控制迴路裡沒有先確認求解時間在控制週期預算內，會直接導致控制迴路跟不上。
終端成本 $Q_f$ 設得跟 $Q$ 一樣、或乾脆省略：沒有適當放大的終端成本，遞推時域策略的穩定性保證會變弱，系統可能在時域邊界附近出現不必要的震盪傾向。
拿線性 MPC 直接套用在高度非線性的系統上、卻不做任何重新線性化：只在初始工作點線性化一次，系統狀態偏離工作點越遠，模型誤差累積越明顯，通常需要在每個控制週期用目前狀態重新線性化（形成一種簡化版的非線性 MPC），而不是全程套用同一組固定的 $A$ 、 $B$ 。
把 $Q$ 、 $R$ 當成獨立於系統物理單位的抽象數字亂調：狀態向量裡不同分量的物理單位差異很大（例如角度用弧度、角速度用弧度/秒）， $Q$ 矩陣對角線的相對大小需要考慮這些單位差異，否則某個分量的誤差在數值上天生就比另一個分量大，會不成比例地主導最佳化結果。
忽略 QP 求解器可能回傳不可行（infeasible）的情況：當約束條件互相矛盾（例如目前狀態已經逼近極限、時域內物理上不可能同時滿足所有狀態與控制限制）時，求解器可能無解，沒有處理這種邊界情況的容錯機制（例如放寬部分軟約束），控制迴路會直接卡死。