Jacobian（雅可比矩陣）

定義

雅可比矩陣（Jacobian）是描述「關節速度」與「末端執行器速度」之間線性關係的矩陣，在機械手臂控制與逆向運動學數值解法中扮演核心角色。

數學表示

x˙=J(θ)θ˙\dot{x} = J(\theta) \dot{\theta}

其中 x˙\dot{x} 是末端執行器的線速度與角速度，θ˙\dot{\theta} 是各關節角速度，J(θ)J(\theta) 就是雅可比矩陣，隨關節角度 θ\theta 變化。

使用情境

  • 逆向運動學數值解法：透過 J−1J^{-1} 或 J+J^{+}（虛擬反矩陣）迭代逼近目標關節角度。
  • 奇異點偵測：當 J(θ)J(\theta) 不滿秩（rank deficient）時，代表機械手臂進入奇異點，某些方向上無法產生末端速度。
  • 力/力矩轉換：JTJ^T 可將末端施力轉換為各關節所需力矩。

延伸閱讀