正向運動學 vs 逆向運動學：新手一次搞懂

2026-07-02

forward-kinematics
inverse-kinematics
dh-parameters

問題定義

給定機械手臂每個關節的角度，末端執行器（end-effector）會在哪個位置？反過來，如果我想讓末端執行器到達某個位置，每個關節角度該設多少？前者是正向運動學，後者是逆向運動學。

原理說明

正向運動學（Forward Kinematics, FK）透過連續的座標轉換矩陣，把每個關節角度依序疊加，算出末端執行器相對於基座的位置與姿態：

T_{0}^{n} = T_{0}^{1} \cdot T_{1}^{2} \cdots T_{n-1}^{n}

逆向運動學（Inverse Kinematics, IK）則是反過來，已知末端目標位置 $T_0^n$ ，求解每個關節角度 $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n$ 。這個問題通常是非線性的，可能無解、恰好一組解，或有多組解。

程式碼範例

python

import numpy as np


def dh_transform(theta, d, a, alpha):
    return np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta) * np.cos(alpha), np.sin(theta) * np.sin(alpha), a * np.cos(theta)],
        [np.sin(theta), np.cos(theta) * np.cos(alpha), -np.cos(theta) * np.sin(alpha), a * np.sin(theta)],
        [0, np.sin(alpha), np.cos(alpha), d],
        [0, 0, 0, 1],
    ])

常見錯誤

混淆旋轉順序（是先繞 z 軸還是先繞 x 軸），導致 DH 參數設錯
誤以為 IK 一定有唯一解，忽略奇異點（singularity）的情況

延伸閱讀

常見問題

正向運動學一定有解嗎？: 是的，只要知道每個關節角度，末端點位置與姿態就能唯一計算出來。
逆向運動學為什麼可能有多組解？: 因為同一個末端位置，手臂可能有多種關節組合方式到達（例如手肘朝上或朝下）。